S(u)kladnost i tome slično…

Ishodi učenja:

 

  • uočiti i prepoznati sukladne likove (A, B, D)
  • izreći i ilustrirati poučke o sukladnosti i sličnosti trokuta (A, C)
  • modelirati i riješiti planimetrijske probleme rabeći sukladnost i sličnost trokuta (A, B, C, D)
  • upotrijebiti sukladnost i sličnost u popločivanju površina (D)
  • razviti prostornu percepciju i motoričke vještine (B, C, D)

 

*U zagradama su navedena slova koja označavaju aktivnosti ovog scenarija poučavanja, a njihovom se realizacijom doprinosi ostvarenju dotičnog ishoda.

 

 

Opis aktivnosti

 

A Jesmo li sukladni?

Uz pomoć Desmos aktivnosti Jesmo li sukladni? možete provjeriti razumiju li učenici pojam sukladnosti, prepoznaju li poučke o sukladnosti trokuta i znaju li ih primjenjivati u konkretnim primjerima. Učenici aktivnosti pristupaju preko učeničkog pristupnog ulaza, upisujući razredni kod (Class Code), koji generirate prijavom u Desmos, a vi na svojem računu možete preko kontrolne ploče (Dashboard) pratiti aktivnost svakoga učenika.

Učenici samostalno prolaze kroz online aktivnost rješavajući različite zadatke u kojima uočavaju, opisuju, ilustriraju i obrazlažu sukladnost trokuta primjenom odgovarajućih poučaka, koristeći se matematičkim jezikom. Raspravite s učenicima o rješenjima i zaključcima do kojih su došli, što možete učiniti tijekom rada u samoj online aktivnosti (u kontrolnoj ploči nudi se mogućnost pauziranja aktivnosti (Pause Class), što daje mogućnost izravne razredne rasprave) ili na kraju aktivnosti.

 Postupci potpore

Učenici sa specifičnim teškoćama učenja i učenici s poremećajem pažnje/hiperaktivnim poremećajem prije online aktivnosti neka ponove sukladnost uz pomoć jednostavnih primjera. Posebnu pozornost usmjerite na odabir zadataka ako se u razrednom odjelu nalaze učenici s teškoćama vizualne percepcije. Ti će učenici sukladnost moći uočiti jedino na jednostavnim oblicima jer složene ne mogu procesuirati. Za rad na računalu pripremite ih tako da nekoliko prvih primjera zadataka riješite zajedno s njima. Broj zadataka, težinu i način zadavanja prilagodite svakom učeniku s obzirom na njegove mogućnosti te za svaki zadatak pripremite i odgovore kako bi učenici imali povratnu informaciju. Svakako treba imati na umu da svaki novi tip zadatka morate proraditi zajedno s učenicima te im za rad uvijek dati jasnu uputu. Rad na računalu učenicima s oštećenjem vida i učenicima s motoričkim teškoćama učinite pristupačnim kako je opisano u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama, Asistivne tehnologije. Učenici s oštećenjem vida koji ne mogu raditi na računalu u ovoj aktivnosti mogu sudjelovati rako da dobiju geometrijske likove izrađene od kartona, gdje će potrebnim mjerenjima uočavati sukladnost.

 

 

B Sukladne polovice

Porazgovarajte s učenicima o pojmu sukladnosti, što znači da su dva lika sukladna te kako bi svakodnevnim rječnikom opisali pojam sukladnosti. Neka razmisle kako bi mogli pokazati odnosno provjeriti jesu li dva lika sukladna. Kroz razgovor stavite naglasak na pojam „odgovarajući“ elementi sukladnih likova.

Podijelite učenike u parove i iznesite im konkretan problem: Stjepan radi u pilani i mora prevesti ostatke različitih šperploča u skladište. Međutim, komadi šperploča preveliki su i ne stanu u kutije za transport, zato ih je Stjepan odlučio razrezati na sukladne polovice kako bi dijelove mogao preklopiti i tako ih lakše smjestiti u kutije. Zadatak je učenika podijeliti ponuđene likove, koji prikazuju ostatke šperploča, na sukladne polovice ucrtavanjem jedne ili više dužina odnosno reznih linija po kojima Stjepan treba razrezati ploče. Pokažite učenicima sljedeću sliku jednog ostatka šperploče i postavite im izazov: Možete li samo jednom reznom linijom podijeliti ploču na dva sukladna dijela?

Raspravite o mogućim strategijama rješavanja i potaknite učenike da pri iznošenju svojih rješenja objasne kako su odredili gdje podijeliti lik, što su tražili kad su pokušali podijeliti lik na sukladne polovice i postoji li možda više rješenja. Pokušajte pronaći jednog ili više učenika koji se koriste različitim strategijama podjele lika i pozovite ih da podijele svoje načine rješavanja s ostalim učenicima. Moguće rješenje:

Nakon toga ponudite učenicima ostale primjere, koje možete pripremiti u obliku radnog lista i ispisati na raznobojnim papirima i u više primjeraka kako bi učenici, nakon što ucrtaju dužine odnosno rezne linije, mogli izrezati likove i preklapanjem provjeriti svoja rješenja odnosno jesu li ih podijelili na sukladne polovice. Možete za radni list odabrati sve ili samo neke od ponuđenih primjera, uz koja se nalaze i rješenja. Na kraju usporedite rezultate po parovima, raspravite o rješenjima i prokomentirajte svaki zadatak ili možete raspraviti o rješenjima i tijekom rada te pozvati učenike koji su uspješno riješili zadatke da podijele s ostalima rješenja težih problema (npr. 6., 7. i 8.). Rješenja možete pripremiti i u prezentaciji u PowerPointu ili Google prezentacijama.

Aktivnost možete proširiti i povezati pojam preklapanja likova s preslikavanjima ravnine koja su učenici upoznali u osnovnoj školi. U tome slučaju učenicima možete na početku ponuditi sljedeći zadatak i povesti raspravu o tome jesu li trokuti sukladni. Time možete potaknuti učenike da imenuju preslikavanje ravnine ili kompoziciju preslikavanja ravnine kojima bi se jedan trokut preslikao na drugi te na taj način provjeriti jesu li sukladni. Rješenja možete provjeriti u interaktivnom GeoGebrinu apletu. Nakon toga iznesite učenicima konkretan problem sa Stjepanom i provedite aktivnost na prethodno opisani način. Pri tome možete tražiti od učenika da tijekom izrezivanja likova i provjere preklapanjem imenuju preslikavanje ravnine ili kompoziciju preslikavanja ravnine kojima bi jednu polovicu lika doveli u položaj preklapanja s drugom polovicom. Možete tražiti i da navedu primjerice središte i kutnu mjeru kuta rotacije, vektor translacije i slično, ovisno o predznanju učenika i strukturi razrednog odjela. U tome slučaju ponudite učenicima u radnom listu likove s imenovanim vrhovima.

 Postupci potpore

U uvodnome dijelu aktivnosti učenike s teškoćama potaknite na raspravu, odnosno objašnjavanje sukladnosti vlastitim riječima kako biste uvidjeli razumiju li učenici pojam sukladnosti. Pri tome im ostavite dovoljno vremena da izraze vlastitu misao te im pomažite potpitanjima i slikovnim materijalom. U radu u paru te pri rješavanju zadataka na radnim listovima zadatke prilagodite mogućnostima učenika s obzirom na težinu. Na radnom listu može biti napisan i kratki podsjetnik koji će učenike voditi kroz rješavanje zadatka. Rad na računalu učenicima s oštećenjem vida i učenicima s motoričkim teškoćama učinite pristupačnim kako je opisano u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama, Asistivne tehnologije.

 

 

C Origami: preklopi i podijeli

Razgovorom s učenicima provjerite jesu li čuli za origami tehniku savijanja papira, o tome odakle potječe i jesu li ikada tom tehnikom izradili neki model od papira. Možete pripremiti raznobojne papire i učenicima ponuditi da izrade jednostavniju origami kapu (stripovska uputa) ili nešto složeniji origami brod (videouputa) kako bi se upoznali sa shematskim prikazom, odnosno opisom koraka presavijanja i načinima presavijanja papira pri izradi modela origami tehnikom. Možete učenicima ponuditi i složenije primjere poput izrade ždrala (videouputa), kocke (videouputa) ili sl., ovisno o njihovu iskustvu.

Podijelite učenike u parove ili skupine i ponudite im sljedeći problem: Kako origami tehnikom podijeliti kvadrat na tri jednaka dijela? Za svaki par/skupinu pripremite dva papira kvadratnog oblika i stripovsku uputu s opisom kako podijeliti kvadrat na trećine. Učenicima su potrebna dva papira jer se u posljednjem, 4. koraku papir može preklopiti na dva načina (pregibi pi p2 u uputi). Neka učenici iskušaju oba načina i neka mjerenjem provjere dijeli li taj posljednji pregib (pregib podnosno p2) zaista kvadrat na dva dijela, od kojih veći predstavlja dvije trećine, a manji dio jednu trećinu kvadrata.

Nakon toga neka učenici razmotaju papire i običnom ili kemijskom olovkom iscrtaju linije presavijanja kako bi lakše uočili i dokazali da su stranice kvadrata zaista podijeljene u omjeru 2 : 1. U tu svrhu uvedite odgovarajuće oznake točaka, primjerice kao ovdje. Primjenom poučaka o sličnosti trokuta učenici trebaju dokazati da točka F odnosno G dijeli stranicu kvadrata u navedenom omjeru. Postoje različiti parovi sličnih trokuta uz pomoć kojih učenici mogu dokazati tu tvrdnju. Zato i jesu ponuđena dva načina preklapanja papira u 4. koraku, kako bi se tvrdnja mogla dokazati na više načina. Nakon što učenici završe s radom, povedite raspravu o njihovim rješenjima i neka podijele s ostalim učenicima kako su dokazali tvrdnju te kojim su se poučkom o sličnosti trokuta su pri tome koristili. Raspravite s učenicima o tome kako bi sad na kraju, samo jednim presavijanjem papira, podijelili kvadrat na tri jednaka dijela.

Prema raspoloživom vremenu možete im na satu ili za domaću zadaću zadati da tvrdnju dokažu tako da kvadrat smjeste u pravokutni koordinatni sustav, s jednim vrhom u ishodištu i parom susjednih stranica na koordinatnim osima (kao na slici).

Služeći se ranije stečenim znanjima u cjelini Linearna funkcija, učenici neka na temelju jednadžbi pravaca n i m (koji sadržavaju dvije dijagonalne linije presavijanja kvadrata) i koordinate točke Psamostalno argumentiraju kako se kvadrat može preklopiti u trećine.

 Postupci potpore

Učenicima s poremećajem pažnje/hiperaktivnim poremećajem pri izradi origamija bit će potrebna dodatna objašnjenja, usmjeravanje i dovoljno vremena kako bi uočili na koji način treba savijati papir. Poučke o sličnosti trokuta koje će učenicima biti potrebne za nastavak aktivnosti zapišite im na poseban papir kako bi se time mogli služiti pri dokazivanju omjera podijeljenog kvadrata. Učenici s oštećenjem vida neka isto tako dobiju dodatne upute i fizičku pomoć pri ovoj aktivnosti kako bi papir savili na točnim mjestima. U aktivnosti posebnu potporu pružite i učenicima s teškoćama prostorne (vizualne) percepcije. Za njih je potrebno izraditi jednostavne modele te redoslijed savijanja označiti brojevima.

 

 

D „Samoponavljajuće“ pločice

Porazgovarajte s učenicima o tome gdje su u svakodnevnom životu vidjeli primjere pločica. Jesu li možda imali prilike sudjelovati u odabiru pločica za prekrivanje zidova ili podova u kuhinji ili u bilo kojoj drugoj prostoriji kod kuće? Gdje još upotrebljavamo pločice osim za ukrašavanje životnog prostora? S kojim su se oblikom pločica dosad susreli?

Povežite razgovor s problemom popločivanja ravnine na primjeru prekrivanja poda, pločnika ili sl., gdje je pločicama potrebno prekriti cijelu plohu, odnosno razdijeliti plohu na mnogokute koji je u potpunosti prekrivaju, bez praznina i preklapanja.

Kako bi upoznali neobičan tip pločice s kojim isto tako možemo popločiti ravninu, pokažite učenicima sljedeći primjer podjele mnogokuta na dijelove.

Povedite s učenicima raspravu o sličnostima i razlikama u podijeli tih dvaju šesterokuta. Pitanjima ih potaknite da uoče važnu razliku među njima: prvi je šesterokut podijeljen na četiri međusobno sukladna dijela, od kojih nijedan nije sličan izvornome liku, dok je drugi šesterokut podijeljen na četiri međusobno sukladna dijela, od kojih je svaki sličan izvornom liku. Drugim riječima, četiri manje preslike drugoga šesterokuta zajedno daju veću inačicu istoga oblika. To su likovi koji imaju svojstvo samosličnosti, mogli bismo ih nazvati „samoponavljajućim“ likovi koji su n-toga reda ako se mogu podijeliti u n preslika koje su sukladne jedna drugoj i slične izvornom liku.

U daljnjim razmatranjima krenite od jednostavnijeg lika 4. reda, a to je trokut. Kako bi učenici provjerili je li trokut „samoponavljajući“ lik 4. reda, neka najprije u GeoGebrinu e-udžbeniku (aplet „Trokut“) od četiri istovjetne preslike početnoga trokuta slože njemu sličan trokut. Na taj će način lakše uočiti i odrediti koeficijent sličnosti velikoga i manjih trokuta, kao i omjer u kojem treba podijeliti stranice početnoga trokuta. Nakon toga neka na listu papira učenici nacrtaju proizvoljan trokut i podijele ga na opisani način na četiri „pločice“ (v. rješenje).

U navedenome GeoGebrinu e-udžbeniku na jednak način s učenicima istražite još dva „samoponavljajuća“ lika: šesterokut u obliku slova L, kao nešto složeniji lik 4. reda, i još složeniji lik 3. reda, a to je trokut 30°- 60°- 90°. Rješenja možete pronaći na poveznici.

Na kraju povedite s učenicima raspravu o neobičnim likovima koje su upoznali, potičući ih da razmisle mogu li se primjerice sjetiti još kojeg „samoponavljajućeg“ lika 4. reda (primjerice kvadrat i paralelogram) i imaju li ideju kako bi ga podijelili na manje dijelove. Ili, primjerice, koji bi lik bio „samoponavljajući“ lik 2. reda (samo su dva: pravokutnik formata A4 papira i jednakokračan pravokutan trokut) i kako ga podijeliti? Predložite učenicima da za domaću zadaću odaberu jedan od likova koje ste istraživali na satu i da ga, ponavljajući opisani postupak, podijele na što više manjih dijelova. Svoje konstrukcije mogu i obojiti, kao u primjeru, pa kasnije radovima učenika možete urediti pano u učionici.

 Postupci potpore

U raspravi o sličnostima i razlikama u podjeli dvaju šesterokuta pozornost učenika s poremećajem pažnje/hiperaktivnim poremećajem te učenika s oštećenjem vida potrebno je usmjeriti na uočavanje cijeloga lika i likova koji su nastali podjelom jer će jedino na taj način učenici moći uočiti da je prvi šesterokut podijeljen na četiri međusobno sukladna dijela, od kojih nijedan nije sličan izvornom liku, dok je drugi šesterokut podijeljen na četiri međusobno sukladna dijela, od kojih je svaki sličan izvornom liku. Da bi učenici mogli bolje uočiti navedene karakteristike, linije je potrebno ucrtati debljinom i bojom koju će najlakše percipirati, a u promatranju ih treba voditi. Ako je potrebno, možete im predložiti da oboje likove koji su ucrtani. Za rad u GeoGebri učenike je potrebno pripremiti tako da zajedno s njima riješite barem jedan zadatak, a zatim im date uputu za rješavanje sljedećeg. U nastavku rada složenost figure ovisti će o mogućnostima svakog učenika s teškoćama.

 

 

 Za učenike koji žele znati više

Proširite aktivnost „Samoponavljajuće“ pločice i potaknite učenike da dodatno istraže te sadržaje pretraživanjem mrežnih stranica. Ključne riječi pretrage koje će dati mnogo rezultata: rep-tiles i reptiles maths. Napomenite učenicima da su sadržaji dostupni na engleskom jeziku. Možete za motivaciju učenicima najprije vi ponuditi nekoliko „samoponavljajućih“ likova, za koje sami moraju otkriti kojega su reda, primjerice jednakokračan i pravokutan trapez – likovi 4. reda (slike u nastavku) i sl. Ili, možete im otkriti kojeg su reda, pa učenici samostalno moraju istražiti načelo podjele i omjer u kojem je potrebno podijeliti odgovarajuće stranice zadanog lika. U tu im svrhu ispišite slike likova u potrebnom broju primjeraka kako bi ih mogli izrezati i složiti. Dodatna objašnjenja i rješenja mogu pronaći pretraživanjem bogatog sadržaja na internetu. Predložite učenicima da nakon toga sami odaberu još neki lik i zatim u obliku PowerPoint prezentacije prikažu načelo i postupak podjele zadanog(ih), kao i onoga lika koji su sami odabrali. Neka pokušaju podijeliti likove na što više dijelova i prema želji ih mogu obojiti, slijedeći uočeno načelo podjele. Za konstrukcije i podjelu likova učenici se mogu koristiti online računalnim programom GeoGebra ili ih samostalno izvesti, fotografirati rad i uključiti ga u prezentaciju.

 

 

 

 Dodatna literatura, sadržaj i poveznice:

Dodatna pojašnjenja pojmova možete potražiti na relevantnim mrežnim stranicama – Google znalac, Struna (Hrvatsko strukovno nazivlje), Hrvatska enciklopedija i sl.

  1. Make: DIY Projects and Ideas for Makers. How to Fold Origami Paper Into Thirds. Dostupno na poveznici, pristup 1.5.2017.
  2. Maxwell’s Demon | Vain attempts to construct order. Rep-tiles, or how mathematicians start to puzzle and open up questions. Dostupno na poveznici, pristup 1.5.2017.

Napomena: Valjanost svih mrežnih poveznica posljednji je put utvrđena 18.6.2017.

 

 

Primijenili ste ovaj scenarij poučavanja u nastavi? Recite nam svoje mišljenje popunjavanjem upitnika na poveznici
Creative Commons licenca
Ovo djelo je dano na korištenje pod licencom Creative Commons Imenovanje 4.0 međunarodna. Prilikom korištenja ovog djela trebate označiti autorstvo djela na ovaj način: CARNET (2017) e-Škole scenarij poučavanja ˝(upisati naslov scenarija poučavanja)˝, https://scenariji-poucavanja.e-skole.hr/.

Informacije o scenariju

Predmet:
Razred: ,

Razina izvedbene složenosti: početna

Korelacije i interdisciplinarnost:

- Likovna kultura
- Engleski jezik
- Učiti kako učiti
- Osobni i socijalni razvoj
- Uporaba informacijske i komunikacijske tehnologije


Savjete i upute za primjenu digitalnih alata u nastavi pronađite
na e-Laboratoriju. e-Laboratorij logo